等倾干涉的条纹为什么内疏外密？

在课堂上，老师只说了等倾干涉条纹特点的结论，并没有说原因，课下我查找资料，并进行了相关的推导

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本文参考了 课件^[1][2] 以及《光学教程(第六版)》(姚启钧)
水平有限，推导可能会有不当的地方

先解释一下什么是等倾干涉

等倾干涉的薄膜干涉的一种，原理是分振幅法，把一束光分成两部分，这两部分光再相遇产生干涉
如图所示，等倾干涉光程差只由入射角决定

采用扩展光源制造等倾干涉，动态示意图如下：

等倾干涉条纹特点

先说结论：

1. 干涉条纹为一系列同心圆环；内疏外密；内圆纹的级次比外圆纹的级次高
2. 膜厚变化时,条纹发生移动。当薄膜厚度增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张，条纹变密

下面主要推导的是为什么是“内疏外密”的

推导过程

等倾干涉光程差的一般结论

如图，设折射角为$\theta$入射角为$i$，过$C$点作垂线垂直于反射光线，并交反射光线于点$C'$

光程差：$\delta =n\left( AB+BC \right) -AC'+\frac{\lambda}{2}$
从图中可知：

$AB=BC=\frac{h}{\cos{i}}$

$AC'=AC\cdot \sin \theta$

$AC=2h\tan i$

$\sin \theta =n\sin i$

根据上式得：

$\begin{aligned} A C^{\prime} &=(2 h \tan i) \cdot n \sin i \\ &=2 h n \frac{\sin ^{2} i}{\cos i} \\ &=2 h n \frac{1-\cos ^{2} i}{\cos i} \\ &=2 h n\left(\frac{1}{\cos i}-\cos i\right) \end{aligned}$

故光程差为：

$\delta =2n\frac{h}{\cos i}-2nh\left( \frac{1}{\cos i}-\cos i \right) +\frac{\lambda}{2}=2hn\cos i+\frac{\lambda}{2}$

相邻明暗条纹的距离

明纹条件：

$2hn\cos i+\frac{\lambda}{2}=j\lambda , \ j=0,1,2,3\cdots$

暗纹条件：

$2hn\cos i+\frac{\lambda}{2}=(j+\frac{1}{2})\lambda , \ j=0,1,2,3\cdots$

上式相减处理后，得相邻明纹或暗纹折射角的关系：

$\cos i_{j+1}-\cos i_{j} = \frac{\lambda}{2hn}$

由于$\cos i$可以展开为级数

$1-\frac{i^2}{2!}+\frac{i^4}{4!}-\cdots$

入射角很小时，可以略去$i^4$以上各项，以$1-\frac{i^2}{2}$代替式中$\cos i$，得：

$i^2_j-i^2_{j+1}=\frac{\lambda}{hn}$

由于$x\sin \theta =n\sin i$，代换$i_j$为$\theta_N$得：

$\theta^2_{N+1}-\theta^2_N = \frac{\lambda n}{n}$

由于$\theta$足够小，故

$\theta^2_{N+1}-\theta^2_N = (\theta_{N+1}+\theta_N)(\theta_{N+1}-\theta_N)=2\theta_N \cdot \Delta\theta_N$

$\Delta_N=\frac{n\lambda}{2h\theta_N}$

$\Delta\theta_N$的含义是第N个条纹附件相邻两圆环间的角间距（亮条纹中心到相邻暗条纹
中心的角距离）

我们设点光源为$S$，$S$到反射面的距离为$f$,则条纹间距：

$\Delta r_N=f\Delta_N=\frac{nf\lambda}{2h\theta_N}$

从式子中可以看出，随着$\theta_N$的增大，$\Delta r_N$越来越小，说明条纹在变密，至此，等倾干涉条纹分布的“内疏外密”证明完成。

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1. 1.等倾干涉和等厚干涉 ↩
2. 2.薄膜干涉 等厚条纹 等倾条纹 ↩